構(gòu)建完整知識(shí)體系、增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識(shí)是備考復(fù)習(xí)的重要目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)解題策略的實(shí)施要求。每一道數(shù)學(xué)問題的解答，都必須聯(lián)系已學(xué)知識(shí)、已解問題與已有的方法經(jīng)驗(yàn)，需要解答者熟稔掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，根據(jù)知識(shí)與問題間的聯(lián)系，將待解問題化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化為已解問題或可應(yīng)用已學(xué)知識(shí)的問題。所以，深度的數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)，要總結(jié)應(yīng)試必備的思維策略方法，更要著力研究知識(shí)與問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，著重凝練化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化思想。因此，在復(fù)習(xí)備考時(shí)必須具有以下三個(gè)目標(biāo)意識(shí)。

知識(shí)系統(tǒng)化——

    立足基礎(chǔ)突出主干，構(gòu)建完整知識(shí)體系

歷年高考數(shù)學(xué)對(duì)解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、向量與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等核心模塊的考查，中考數(shù)學(xué)對(duì)平面幾何基本圖形關(guān)系與二次函數(shù)問題等主要知識(shí)的考查，都是深入、系統(tǒng)的。因此，復(fù)習(xí)中要重視主干知識(shí)的地位與作用，經(jīng)常圍繞主干進(jìn)行知識(shí)與問題的關(guān)系建構(gòu)，將主體知識(shí)的系統(tǒng)化作為備考關(guān)鍵內(nèi)容。數(shù)學(xué)的具體概念、法則、定理、公式、方法、問題都是相互關(guān)聯(lián)的，深度的復(fù)習(xí)要掌握知識(shí)生成與論證的縱向關(guān)系，也要理解不同章節(jié)甚至不同學(xué)科知識(shí)間的橫向關(guān)聯(lián)，還要熟練掌握由數(shù)學(xué)知識(shí)鏈密集交匯而形成的與眾多知識(shí)問題有直接關(guān)聯(lián)的“簇知識(shí)”。日常學(xué)習(xí)要認(rèn)真研究知識(shí)與問題的關(guān)系，復(fù)習(xí)時(shí)不僅要進(jìn)一步明確并掌握知識(shí)與問題的關(guān)系，還要注重研究知識(shí)與問題的整體結(jié)構(gòu)，以形成對(duì)知識(shí)與問題的“結(jié)構(gòu)性理解”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)化這一具有扎根筑基性質(zhì)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

知識(shí)系統(tǒng)化是分析與解決數(shù)學(xué)問題的思維基礎(chǔ)。著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在其《怎樣解題》一書中指出，解題在“擬定計(jì)劃”環(huán)節(jié)，可考慮：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？這些思考告訴我們，解題時(shí)應(yīng)通過聯(lián)想，把問題置于與之相關(guān)聯(lián)的知識(shí)與問題系統(tǒng)中，從問題與已學(xué)知識(shí)、已解問題的聯(lián)系入手綜合思考，可稱之為解題思維的“系統(tǒng)原則”。這個(gè)原則揭示了解題思維的基本規(guī)則，適用于所有數(shù)學(xué)問題的解答，也適用于所有非數(shù)學(xué)問題的解答。成功的解題需要有一個(gè)知識(shí)與問題的系統(tǒng)關(guān)系網(wǎng)，網(wǎng)中的知識(shí)與問題越有序、精細(xì)無漏洞，越有利于迅捷聯(lián)想與順利轉(zhuǎn)化，關(guān)系網(wǎng)越大，轉(zhuǎn)化的路徑與方法也越多。

方法思想化——

    運(yùn)算推理兩翼并重，增強(qiáng)求變轉(zhuǎn)化意識(shí)

運(yùn)算與推理是解證數(shù)學(xué)問題時(shí)實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)、化歸的主要手段，也是解答數(shù)學(xué)高考試題的關(guān)鍵能力，二者在解題過程中經(jīng)常共同合作、相互推進(jìn)，在備考復(fù)習(xí)中應(yīng)充分重視。具體的運(yùn)算與推理方法很多，深度的備考復(fù)習(xí)要注重理解蘊(yùn)含在每一個(gè)方法中的求變意識(shí)與化歸思想，以使眾多方法在被歸結(jié)成同一思想后更易于認(rèn)識(shí)與理解，并能用單一的思路簡(jiǎn)易處理各類繁雜問題。深度的復(fù)習(xí)，要增強(qiáng)將問題轉(zhuǎn)化為已解問題與已知知識(shí)的意識(shí)，也要在使用各種方法時(shí)多感悟方法的化簡(jiǎn)與化歸功能，要回顧思維路徑，看清轉(zhuǎn)化化歸的過程，還要從中總結(jié)方法經(jīng)驗(yàn)和一般化的解題策略原則。日常解題中要著力研究解題的基本方法，而復(fù)習(xí)時(shí)不僅要進(jìn)一步熟練運(yùn)用已知方法，還要注重通過一題多解、多題歸一、多法歸一等方式掌握問題間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，并從中凝練出歸結(jié)眾多方法處理大量問題的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而達(dá)成方法思想化這一具有高位統(tǒng)攝性質(zhì)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

概括運(yùn)算與推理方法的轉(zhuǎn)化化歸思想，是分析與解決數(shù)學(xué)問題的思維利器。波利亞指出，解題在擬定計(jì)劃時(shí)，要思考：你能不能用不同的方法重新敘述它？如果你不能解決所提出的問題，可否先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題？你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題，一個(gè)更普遍的問題，一個(gè)更特殊的問題，一個(gè)類比的問題？這些思考告訴我們，解題時(shí)應(yīng)借助聯(lián)想中得到的知識(shí)與問題的關(guān)系進(jìn)行命題變更，化抽象為直觀、化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化陌生為熟悉等，可稱之為解題思維的“多變?cè)瓌t”。這個(gè)原則揭示了解題思維的另一個(gè)基本規(guī)則，也適用于所有問題的解答，解題中的因果、數(shù)形、整零、和積與動(dòng)靜等轉(zhuǎn)換，配方、消元、換元、反證等方法，都是轉(zhuǎn)化化歸思想和這個(gè)原則的特殊體現(xiàn)。成功的解題需要能指導(dǎo)思維方向的數(shù)學(xué)思想，思想越有概括性，越可將眾多的知識(shí)與問題歸結(jié)到簡(jiǎn)單范疇進(jìn)行統(tǒng)一認(rèn)識(shí)與思考，也越易于將其融會(huì)貫通地應(yīng)用在更多類別的解題過程中。

思維策略化——

    通法為主特技為輔，力促解證周密有序

思維策略是影響考試解題成敗的一個(gè)關(guān)鍵因素，需要在備考復(fù)習(xí)中予以充分關(guān)注。一般來說，“會(huì)而不對(duì)”是導(dǎo)致考試不理想的主要原因，考試解題時(shí)應(yīng)將試卷問題分為難、中、易三類，對(duì)困難問題采用回避、暫不思考或盡力尋找可得分點(diǎn)等策略，對(duì)中、易題采用通法為主特技為輔、以確保萬無一失的策略。在數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理中，為規(guī)避常規(guī)錯(cuò)誤的發(fā)生，多運(yùn)用熟悉的通用的方法，不用或少用不熟悉的特殊技巧，是解題思考時(shí)要遵循的“正合原則”。“正合原則”對(duì)數(shù)學(xué)中、高考試題解答的重要啟示是：解題時(shí)不可不著邊際無目標(biāo)地思考，而應(yīng)從條件與結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已學(xué)知識(shí)與已有經(jīng)驗(yàn)，先聯(lián)想解決同類問題的常規(guī)思路，在找不到常規(guī)思路或所找思路難以實(shí)施時(shí)，再尋求特殊的可出奇制勝的方法。數(shù)學(xué)高考中的大部分試題都可以用通法解答，對(duì)少部分難題可采用適當(dāng)回避策略，這與日常練習(xí)中“樂解難題”的思路正好相反，但并不矛盾。

數(shù)學(xué)難題解答中“會(huì)而不對(duì)”的現(xiàn)象很常見，因而是備考復(fù)習(xí)和考場(chǎng)發(fā)揮時(shí)最需要關(guān)注的問題。要克服輕慢與疏忽的心理弱點(diǎn)，力促解證周密有序，做到周而不疏、密而不漏，這是解題思考時(shí)應(yīng)遵行的“縝密原則”。《怎樣解題》在“弄清問題”“擬定計(jì)劃”“實(shí)行計(jì)劃”“回顧反思”環(huán)節(jié)，也給出了許多建議，如：希望解題者能注意分辨清楚未知數(shù)、已知數(shù)據(jù)、條件各是什么，整體關(guān)注包含在問題中的所有概念，看是否已利用了所有已知數(shù)據(jù)和條件，并懂得檢驗(yàn)每一個(gè)步驟，直到能清楚看出并能證明其是正確的，等等。因此，考生備考復(fù)習(xí)要努力強(qiáng)化縝密的思維習(xí)慣，在考試中能有意識(shí)地在易錯(cuò)環(huán)節(jié)放慢速度，有條不紊、步步有據(jù)地進(jìn)行運(yùn)算與推理，能在解答后懂得檢驗(yàn)一些可疑的運(yùn)算與推理步驟，盡力減少日常考試中常見的“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象。

總之，以上三個(gè)目標(biāo)意識(shí)，都是數(shù)學(xué)解題策略的實(shí)施要求。“系統(tǒng)原則”倡導(dǎo)的是以聯(lián)系的觀點(diǎn)審視問題，要求備考復(fù)習(xí)應(yīng)有知識(shí)系統(tǒng)化的目標(biāo)意識(shí)。“多變?cè)瓌t”倡導(dǎo)的是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)處理問題，要求備考復(fù)習(xí)應(yīng)有方法思想化的目標(biāo)意識(shí)。而“正合原則”“縝密原則”指出的則是考試答題的時(shí)間與精力分配策略問題，要求備考復(fù)習(xí)應(yīng)有思維策略化的目標(biāo)意識(shí)。同時(shí)，由于數(shù)學(xué)高考試題中的偏、難、怪題始終是極少數(shù)的，備考復(fù)習(xí)也應(yīng)針對(duì)這一特點(diǎn)，制定好學(xué)習(xí)時(shí)間分配策略，集中加強(qiáng)主干知識(shí)與基本思想方法的學(xué)習(xí)，并針對(duì)日常的薄弱環(huán)節(jié)與常犯錯(cuò)誤，對(duì)高考中難題型進(jìn)行深入研究。

（作者系福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部副教授）

《中國(guó)教育報(bào)》2023年02月10日第3版